在中国，计划生育政策经历了多次调整。2016年全面放开二孩政策后，大部分地区对于生育第二个孩子不再进行罚款。然而，不同地区的具体实施细节可能会有所不同。石河子作为新疆生产建设兵团的一个城市，其具体规定也可能根据地方性法规有所差异。

如果您的情况是在2016年之后合法生育的第二胎，并且符合当地的相关规定（比如已婚、年龄等条件），那么通常不需要缴纳罚款就可以为新生儿办理户口登记手续。但如果是超生或者其他特殊情况，则需要咨询当地卫生健康委员会或户籍管理部门了解最新的政策要求及可能涉及的具体费用。

建议您直接联系石河子当地的公安局户籍科或者卫生健康部门获取最准确的信息。同时，请准备好相关证明材料如结婚证、身份证、出生医学证明等以便顺利完成户口登记流程。如果有遇到法律上的难题，也可以考虑寻求专业律师的帮助。