在中国，遗产继承问题通常遵循《中华人民共和国继承法》和最新的《民法典》的相关规定。根据这些法律规定，如果没有遗嘱或者遗赠抚养协议的情况下，遗产应当按照法定继承的方式处理。

在您描述的情况下，您的父亲在未立遗嘱的情况下去世，那么他的遗产（包括这套53平米的单位半产权房产）应该首先由其法定继承人共同继承。法定继承人的范围包括配偶、子女、父母等。因此，除非您的母亲已经通过其他合法方式放弃了对这套房产的继承权，否则她有权参与继承。

关于您母亲想要立遗嘱的问题，根据中国法律，任何年满18周岁的公民都可以设立遗嘱来安排自己的财产分配。因此，只要您的母亲具有完全民事行为能力，并且在自愿的基础上作出决定，她有权设立遗嘱指定这套房产的继承人。但是需要注意的是，如果这套房产的部分产权是来源于您父亲的遗产，那么在设立遗嘱时可能需要考虑到其他法定继承人的合法权益。

关于办理公证遗嘱的问题，这是可行的。在中国，遗嘱可以通过多种形式设立，包括自书遗嘱、代书遗嘱、录音录像遗嘱、口头遗嘱以及公证遗嘱。其中，公证遗嘱是由专业公证机构出具的，具有较高的法律效力。如果选择通过公证遗嘱的方式来设立遗嘱，建议咨询专业的公证处或律师事务所，以确保遗嘱符合相关法律法规的要求，并且能够有效地表达立遗嘱人的意愿。

最后，鉴于涉及具体的法律程序和细节问题，强烈建议您与专业的法律顾问或律师进行详细咨询，以获得更准确、更个性化的法律意见和指导。