你好，我是小查律师。根据你的描述，如果当事人在对方受伤后仅支付了前期部分医药费，后续拒绝继续承担相关费用，这种行为可能涉及民事赔偿责任。

具体而言，依据《中华人民共和国民法典》相关规定，造成他人人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。如果拒绝履行赔偿义务，受害方可以向法院提起诉讼，要求对方承担相应的法律责任。

建议收集好相关证据，比如医院出具的诊断证明、收费单据等，以便在必要时通过法律途径维护自身权益。